Group Theory

Groups

Một nhóm là một tập hợp $G$ cùng với một phép toán nhị phân $\cdot$ sao cho:

1. Với mọi $x, y \in G$, ta có $x \cdot y \in G$ (tính đóng closure).
2. Tồn tại một phần tử đơn vị $1 \in G$ sao cho $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$ với mọi $x \in G$ (phần tử đơn vị identity).
3. Với mọi $x, y, z \in G$, ta có $(xy)z = x(yz)$ (tính kết hợp associativity).
4. Với mọi $x \in G$, tồn tại một phần tử nghịch đảo $x^{-1} \in G$ sao cho $xx^{-1} = x^{-1}x = 1$ (tính nghịch đảo inverse).

Nếu ta chỉ có tính đóng và kết hợp, thì $G$ được gọi là bán nhóm (semigroup).

Nếu có thêm phần tử đon vị, thì $G$ được gọi là nửa nhóm (monoid).

Nếu $xy=yx$ với một số $x,y \in G$, ta nói $x,y$ giao hoán (commutative). Nếu điều này đúng với mọi $x,y \in G$, ta nói $G$ là một nhóm Abel (hay nhóm giao hoán).

Một đồng cấu nhóm (Homomorphism) giữa hai nhóm $G,H$ là một ánh xạ $f : G \rightarrow H$ thỏa mãn $f(x)f(y) = f(xy) \ \ \ \ \ \forall x,y \in G$. Nếu $f$ là song ánh thì ta gọi nó là một đẳng cấu (isomorphism).

Bậc hay Cấp (order) của một phần tử $g \in G$ là số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho $g^k=1$. Điều này phải tồn tại trong một nhóm hữu hạn (finite group).

Theorem: Nếu $x \in G$ có bậc là $h$, thì $x^m = 1$ khi và chỉ khi $h \mid m$.

Theorem: Nếu $x \in G$ có bậc là $mn$ với $m,n$ nguyên tố cùng nhau, thì $x$ có thể được viết dưới dạng $x=uv$ trong đó $u$ có bậc là $m$ và $v$ có bậc $n$.

Ta viết $H \le G$ để biểu diễn rằng $H$ là một subgroup của $G$. Trong trường hợp $H \ne G$ thì ta viết $H < G$.

Theorem: Một tập con khác rỗng $H \subseteq G$ là một subgroup khi và chỉ khi $H$ đóng dưới phép nhân.

Theorem: Một tạp con khác rỗng $H \subset G$ là một subgroup khi và chỉ khi $H^2 \subset H$.

Lemma: Với một subgroup $H$, với mọi $h \in H$ ta có $hH = H = Hh$.

Corollary: Với mọi tập $S \subset H$ ta có $SH = H = HS$.

Theorem: Cho $g \in G$ và $H \le G$. Khi đó $g^{-1}Hg$ là một subgroup của $G$ và đẳng cấu (isomorphic) với $H$.

Lagrange’s Theorem

Lemma: gọi $H$ là một subgroup của $G$. Cho $r, c \in G$. Khi đó $Hr = Hs$ khi và chỉ khi $rs^{-1} \in H$. Ngược lại $Hr, Hs$ không có phần tử chung nào. Tương tự, $rH = sH$ khi và chỉ khi $s^{-1}r \in H$, ngược lại $rH, sH$ không có phần tử chung nào.

Proof: Nếu $rs^{-1}=h \in H$, thì $H = Hh = (Hr)s^{-1}$. Nhân cả 2 vế với $s$ ở bên phải ta có $Hs = Hr$. Ngược lại, nếu $Hr = Hs$, thì vì $r \in Hr$ (vì $1 \in H$) ta có $r = h’s$ với một $h’ \in H$ nào đó. Nhân vào bên phải $s^{-1}$ cho thấy $rs^{-1} \in H.$

Bây giờ giả sử $Hr = Hs$ có một phần tử chung nào đó, tức là $h_1r = h_2s$ với $h_1,h_2 \in H$ nào đó. Điều này suy ra $rs^{-1} = h_1^{-1}h_2 \in H$, do đó $Hr = Hs$ theo chứng minh ở trên.

Lagrange’s Theorem: Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $H$ là một nhóm con của $G$. Khi đó, cấp của $H$ là ước số của cấp của $G$. Kí hiệu toán học:

\[|G| = n|H|\]

Corollary 1: Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và phần tử $g \in G$. Khi đó cấp của $g$ sẽ là ước của $\mid G\mid$.

Corollary 2: Cho $G$ là một nhóm hữu hạn cấp nguyên tố. Khi dods $G$ không có nhóm con nào và $G$ là một nhóm cyclic.

Cyclic Groups

Nhóm cyclic $G$ là một nhóm có thể được sinh ra bởi một phần tử $a$, khi đó mọi phần tử trong $G$ đều có dạng là $a^i$ với các số nguyên $i$. Ta ký hiệu một nhóm cyclic có cấp $n$ là $\mathbb{Z}_n$, vì nhóm cộng của $\mathbb{Z}_n$ là một nhóm cyclic cấp $n$.

Theorem: mọi nhóm con của nhóm cyclic đều là nhóm cyclic. Nếu $G$ tồn tại duy nhất một nhóm con có cấp $d$, nhóm này được sinh bởi $a^{\mid G \mid / d}$.

Theorem: Mọi nhóm có cấp hợp số đều có nhóm con thực sự.